Exponentiellt Vägda Glidande Medelvärde Ppt

Den exponentiellt viktade rörliga genomsnittliga EWMA är en statistik för övervakning av processen som medeltalger data på ett sätt som ger mindre och mindre vikt på data eftersom de vidare avlägsnas i tidsperspektiv av Shewhart-kontrolldiagrammet och EWMA-styrdiagrammetekniker. För Shewhart-diagramstyrningen Tekniken bestäms beslutet om tillståndet för processen vid vilken tidpunkt som helst, t, enbart beroende av den senaste mätningen från processen och självklart graden av sannolikheten för uppskattningarna av kontrollgränserna från historiska data För EWMA Kontrolltekniken beror beslutet på EWMA-statistiken, vilket är ett exponentiellt vägt genomsnitt av alla tidigare data, inklusive den senaste mätningen. Genom valet av viktningsfaktor, lambda, kan EWMA-kontrollförfarandet göras känsligt för en liten eller gradvis Drift i processen, medan Shewhart kontrollproceduren endast kan reagera när den sista datapunkten ligger utanför en kontrollgräns. Definition av EWMA. The statistik som Beräknas är mbox t lambda Yt 1- lambda mbox,,, mbox,,,,,,,,, Mbox 0 är medelvärdet av historiskt data mål. Yt är observationen vid tiden t. N är antalet observationer som ska övervakas, inklusive mbox 0.Tolkning av EWMA-kontrolldiagrammet. De röda prickarna är de råa uppgifterna som den skarpa linjen är EWMA-statistiken över tiden. Diagrammet berättar för oss att processen är i kontroll eftersom alla mboxar ligger Mellan kontrollgränserna Det verkar emellertid vara en trend uppåt under de senaste 5 perioderna. FÖRVÄGNING AV AVERAGES OCH EXPONENTIAL SMOOTHING Farideh Dehkordi-Vakil. Presentation på tema FLYTTNING AVERAGES OCH EXPONENTIAL SMOOTHING Farideh Dehkordi-Vakil Presentation transkript.1 FLYTTNING AVGÅNGAR OCH EXPONENTIELL RÖDNING Farideh Dehkordi-Vakil.2 Introduktion I det här kapitlet presenteras modeller som är tillämpliga på tidsseriedata med säsong, trend eller både säsongs - och trendkomponent och stationära data. Prognosmetoder som diskuteras i detta kapitel kan klassificeras som medelvärdesmetoder. Likt vägda observationer Exponentiella utjämningsmetoder Ojämn uppsättning Av vikter till tidigare data, där vikterna förfallna exponentiellt från de senaste till de flesta di Stanna datapunkter Alla metoder i denna grupp kräver att vissa parametrar ska definieras. Dessa parametrar med värden mellan 0 och 1 bestämmer de ojämna vikter som ska tillämpas på tidigare data.3 Inledning Metoder om en tidsserie genereras av ett konstant processämne Till slumpmässigt fel, då är medelvärdet en användbar statistik och kan användas som en prognos för nästa period. Medelvärdena är lämpliga för stationär tidsseriedata där serien ligger i jämvikt kring ett konstant värde underliggande betyder med en konstant varians över tiden. 4 Introduktion Exponentiella utjämningsmetoder Den enklaste exponentiella utjämningsmetoden är den enda utjämnings-SES-metoden där endast en parameter behöver uppskattas. Holt s-metoden använder två olika parametrar och möjliggör prognoser för serier med trend Holt-Winters-metoden innebär tre utjämningsparametrar för att släta Data, trend och säsongsindex.5 Genomsnittsmetoder Medeln Använder medelvärdet av alla h Istoriska data som prognos När nya data blir tillgängliga är prognosen för tid t 2 det nya medelvärdet inklusive de tidigare observerade uppgifterna plus den här nya observationen. Denna metod är lämplig när det inte finns någon märkbar trend eller säsonglighet. 6 Medelvärde Metoder Det rörliga genomsnittet för Tidsperiod t är medelvärdet av de senaste observationerna Det konstanta talet k anges i början Den mindre talet k, desto mer vikt ges de senaste perioderna. Ju större talet k är, desto mindre vikt ges de senaste perioderna .7 Rörliga medelvärden En stor k är önskvärd när det finns brett, sällsynta fluktuationer i serien. En liten k är mest önskvärd när det finns plötsliga skift i serienivån. För kvartalsdata eliminerar ett fjärde rörligt medelvärde, MA 4 Eller genomsnittliga säsongseffekter.8 Flyttmedelvärden För månadsdata elimineras eller tolkar ett 12 månaders glidande medel, MA 12, årstidseffekt. Lika vikter tilldelas varje observation som används i avergen Ålder Varje ny datapunkt ingår i genomsnittet när den blir tillgänglig och den äldsta datapunkten kasseras.9 Flytta medelvärden Ett glidande medelvärde av order k, MA k är värdet av k-följder i följd K är antalet termer i Glidande medelvärde Den rörliga genomsnittsmodellen hanterar inte trend eller säsongsmässighet mycket bra, även om det kan göra bättre än det totala genomsnittet. 10 Exempel på veckovisa varuhusförsäljning De veckovisa försäljningsuppgifterna i miljoner dollar som presenteras i följande tabell används av en stor varuhus För att bestämma behovet av tillfällig säljpersonal. 11 Exempel på veckovisa varuhusförsäljning.12 Använd ett treveckors glidande medelvärde k 3 för varuhusförsäljningen för att prognostisera för veckan 24 och 26. Prognosfelet är.13 Exempel på veckovis varuhusförsäljning Prognosen för veckan 26 är.14 Exempel på veckovis varuhusförsäljning RMSE 0 63.15 Exponentiella utjämningsmetoder Denna metod ger ett exponentiellt vägat glidande medelvärde av alla tidigare observerade Värden Lämplig för data utan förutsägbar uppåtgående eller nedåtriktad trend Syftet är att uppskatta den nuvarande nivån och använda den som en prognos för framtida värde.16 Enkel exponentiell utjämningsmetod Formellt förutspås exponentiell utjämningsekvation för nästa period utjämning konstant yt observerad Värdet av serier i period t gammal prognos för perioden t Prognosen F t 1 är baserad på viktning av den senaste observationsytan med vikt och viktning den senaste prognosen F t med en vikt av 1,17 Simple Exponential Smoothing Method Implikationen av exponentiell utjämning Kan ses bättre om den tidigare ekvationen expanderas genom att ersätta F t med dess komponenter enligt följande.18 Enkel exponentiell utjämningsmetod Om denna substitutionsprocess upprepas genom att ersätta F t-1 med dess komponenter, F t-2 av dess komponenter, och Så är resultatet därför F t 1 det viktade glidande medlet av alla tidigare observationer. 19 Enkelt exponentiell utjämningsmetod Följande tabell visar w Åttor som tilldelats tidigare observationer för 0 2, 0 4, 0 6, 0 8, 0 9.20 Enkel exponentiell utjämningsmetod Den exponentiella utjämningsekvationen omskrivs i följande formulär belyser rollviktsfaktorn Exponentiell utjämningsprognos är den gamla prognosen plus en justering för Felet som uppstod under den senaste prognosen.21 Enkel Exponentiell utjämning Metoden Värdet av utjämningskonstanten måste vara mellan 0 och 1 kan inte vara lika med 0 eller 1 Om stabila förutsägelser med slätad slumpvis variation är önskvärda så är ett litet värde av önskan Om Ett snabbt svar på en verklig förändring i observationsmönstret är önskvärt, ett stort värde är lämpligt.22 Enkel Exponentiell Utjämningsmetod För att uppskatta, prognoser beräknas lika med 1, 2, 3, 9 och summan av kvadrerade prognoser Fel beräknas för varje Värdet av med den minsta RMSE är vald för användning vid framtagning av framtida prognoser.23 Enkel exponentiell utjämningsmetod För att starta algoritmen behöver vi F 1 eftersom eftersom F 1 Är inte känd kan vi ställa in den första uppskattningen lika med den första observationen. Använd medelvärdet av de första fem eller sex observationerna för det initiala jämnvärdet.24 Exempel University of Michigan Index of Consumer Sentiment University of Michigan Index of Consumer Sentiment for January1995- December1996 Vi vill förutse University of Michigan Index of Consumer Sentiment med hjälp av Simple Exponential Smoothing Method.25 Exempel University of Michigan Index of Consumer Sentiment Eftersom ingen prognos är tillgänglig för den första perioden kommer vi att ställa in den första uppskattningen lika med den första observationen vi Prova 0 3 och 0 6.26 Exempel University of Michigan Index of Consumer Sentiment Observera den första prognosen är det första observerade värdet Prognosen för Feb 95 t 2 och Mar 95 t 3 utvärderas enligt följande.27 Exempel University of Michigan Index of Consumer Sentiment RMSE 2 66 för 0 6 RMSE 2 96 för 0 3.28 Holt s Exponentiell utjämning Holt s två parameter exponentiell utjämning metod är en förlängning av s Genomföra exponentiell utjämning Det lägger till en tillväxtfaktor eller trendfaktor i utjämningsekvationen som ett sätt att anpassa sig till trenden.29 Holt s Exponentiell utjämning Tre ekvationer och två utjämningskonstanter används i modellen Exponentiellt jämna serien eller aktuell nivåberäkning Trenden Uppskattning Prognos p perioder in i framtiden.30 Holt s Exponentiell utjämning L t Uppskattning av serieens nivå vid tid t utjämning konstant för data yt ny observation eller verkligt värde av serie i period t utjämningskonstant för trendberäkning bt uppskattning av Seriens lutning vid tiden tm perioder som ska prognostiseras i framtiden.31 Holt s Exponentiell utjämning Vikten och kan väljas subjektivt eller genom att minimera ett mått på prognosfel som RMSE. Stora vikter resulterar i snabbare förändringar i komponenten Små vikter Resultera i mindre snabba förändringar.32 Holt s Exponentiell utjämning Initialiseringsprocessen för Holt s linjär exponentiell utjämning kräver två uppskattningar S En för att få det första släta värdet för L1 Den andra att få trenden b1 Ett alternativ är att ställa L 1 y 1 och.33 Exempel Kvartalsförsäljning av sågar till Acme verktygsföretag Följande tabell visar försäljningen av sågar till Acme-verktyget Företag Dessa är kvartalsvisa försäljningar Från 1994 till 2000.34 Exempel Kvartalsvis försäljning av sågar till Acme verktygsföretag Granskning av diagram visar En icke-stationär tidsserieinformation Säsongsvariation verkar existera Försäljningen för första och fjärde kvartalet är större än andra kvartaler.35 Exempel Kvartalsvis försäljning av sågar till Acme verktygsföretag Acme data visar att det kan finnas trender i data därför kommer vi att försöka Holt s modell för att producera prognoser Vi behöver två initialvärden Det första släta värdet för L 1 Det ursprungliga trendvärdet b 1 Vi kommer att använda den första observationen för uppskattningen av det släta värdet L 1 och det ursprungliga trendvärdet b 1 0 Vi använder 3 och 1,36 Exempel Kvartalsförsäljning av sågar till Acme verktygsföretag.37 RMSE för denna applikation Ation är 3 och 1 RMSE 155 5 Plotten visade också möjligheten till säsongsmässig variation som behöver undersökas.38 Vinterens exponentiella utjämning Vinterens exponentiella utjämningsmodell är den andra förlängningen av den grundläggande exponentiella utjämningsmodellen Den används för data som uppvisar Både trend och säsonglighet Det är en treparametermodell som är en förlängning av Holt s-metoden En ytterligare ekvation anpassar modellen för säsongskomponenten.39 Vinterens exponentiella utjämning De fyra ekvationer som är nödvändiga för Multiplicationsmetoden för Winter är De exponentiellt släta serierna Trenden Uppskattning Säsongens beräkning.40 Vinter s Exponentiell utjämning Prognos m period framåt L t nivå av serieutjämningskonstant för data yt ny observation eller verkligt värde i period t utjämningskonstant för trendberäkning bt trendberäkning utjämningskonstant för säsongsmässig uppskattning S t Säsongskomponentuppskattning m Antal perioder i prognosens ledningsperiod s längd av säsongssats Y antal perioder i säsongprognosen för framtiden i framtiden.41 Vinterens exponentiella utjämning Som med Holt s linjära exponentiella utjämning kan vikterna, och kan väljas subjektivt eller genom att minimera ett mått på prognosfel som RMSE som med Alla exponentiella utjämningsmetoder behöver vi initialvärden för komponenterna för att starta algoritmen För att starta algoritmen måste initialvärdena för Lt, trenden bt och indexerna S t vara inställda.42 Vinterens exponentiella utjämning För att bestämma initiala uppskattningar Av säsongsindex måste vi använda minst en fullständig säsong s data, initiera trend och nivå vid period s. Initiera nivå som Initialisera trend som Initialisera säsongsindex.40 Vinter s Exponentiell utjämning Vi kommer att tillämpa Winter s-metod för att Acme Tool Company-försäljningen Värdet för är 4, värdet för är 1 och värdet för är 3 Utjämningskonstanten släpper ut data för att eliminera slumpmässighet. Utjämningskonstanten släpper trenden i datasetet.4 4 Vinterens exponentiella utjämning Utjämningskonstanten släpper säsongsmässigheten i data De ursprungliga värdena för den släta serien L t, trenden T t och säsongsindexet S t måste sättas.45 Exempel Kvartalsförsäljning av sågar till Acme-verktyget.46 RMSE för denna ansökan är 0 4, 0 1, 0 3 och RMSE 83 36 Observera minskningen i RMSE.47 Additiv säsonglighet Den säsongsmässiga komponenten i Holt-Winters metod De grundläggande ekvationerna för Holt s Winters additivmetoden är.48 Additiv säsonglighet Den initiala Värden för L s och bs är identiska med de för multiplikationsmetoden För att initiera de säsongsindex som vi använder. Moving medelstora och exponentiella utjämningsmodeller. Som ett första steg för att flytta bortom genomsnittliga modeller, slumpmässiga gångmodeller och linjära trendmodeller, icke-säsongsmönster Och trender kan extrapoleras med hjälp av en rörlig genomsnitts - eller utjämningsmodell. Det grundläggande antagandet bakom medelvärdes - och utjämningsmodeller är att tidsserierna är lokalt stationära med ett långsamt varierande medelvärde. Därför tar vi en movi Ng lokalt medelvärde för att uppskatta det nuvarande värdet av medelvärdet och använd sedan det som prognosen för den närmaste framtiden Detta kan betraktas som en kompromiss mellan medelmodellen och slumpmässig promenad utan driftmodell Samma strategi kan användas Att uppskatta och extrapolera en lokal trend Ett glidande medel kallas ofta en jämn version av den ursprungliga serien, eftersom kortsiktig medelvärde har effekten att utjämna stötarna i originalserien. Genom att justera graden av utjämning av det rörliga genomsnittets bredd, Vi kan hoppas att träffa någon form av optimal balans mellan prestanda för medel - och slumpmässiga gångmodeller. Den enklaste typen av medelvärdesmodell är det enkla lika viktade rörliga genomsnittet. Prognosen för värdet av Y vid tiden t 1 som är gjord Vid tiden t är det enkla medelvärdet av de senaste m-observationerna. Här och någon annanstans kommer jag att använda symbolen Y-hat för att stå för en prognos för tidsserien Y som gjorts så tidigt som möjligt före en given modell. Detta medel är centrerat vid period-m 1 2, vilket innebär att uppskattningen av Den lokala medelvärdet tenderar att ligga bakom det verkliga värdet av det lokala medelvärdet med ca m 1 2 perioder Således säger vi att medeltal för data i det enkla glidande medlet är m 1 2 relativt den period som prognosen beräknas för Det här är hur lång tid prognoserna tenderar att ligga bakom vändpunkter i data. Om du till exempel medger de senaste 5 värdena kommer prognoserna att vara cirka 3 perioder sent för att svara på vändpunkter. Observera att om m 1, Den enkla glidande SMA-modellen motsvarar den slumpmässiga promenadmodellen utan tillväxt Om m är mycket stor jämförbar med längden av uppskattningsperioden är SMA-modellen lika med medelmodellen. Som med vilken parameter som helst av en prognosmodell är det vanligt Att justera värdet av ki N för att få den bästa passformen till data, det vill säga de minsta prognosfelen i genomsnitt. Här är ett exempel på en serie som verkar uppvisa slumpmässiga fluktuationer runt ett långsamt varierande medel. Låt oss försöka passa det med en slumpmässig promenad Modellen, vilket motsvarar ett enkelt glidande medelvärde av 1 term. Slumpmässig gångmodell svarar väldigt snabbt på förändringar i serien, men därigenom väljer det mycket av bruset i dataen de slumpmässiga fluktuationerna samt signalen den lokala Medelvärde Om vi ​​istället försöker ett enkelt glidande medelvärde på 5 termer får vi en snyggare uppsättning prognoser. Det 5-åriga enkla glidande medlet ger betydligt mindre fel än den slumpmässiga gångmodellen i detta fall Medelåldern för data i detta Prognosen är 3 5 1 2, så att den tenderar att ligga bakom vändpunkter med cirka tre perioder. Till exempel verkar en nedgång ha skett i period 21, men prognoserna vänder inte om till flera perioder senare. Notera att den långsiktiga Termiska prognoser från SMA mod El är en horisontell rak linje, precis som i den slumpmässiga promenadmodellen. Således antar SMA-modellen att det inte finns någon trend i data. Men prognoserna från slumpmässig promenadmodell är helt enkelt lika med det sista observerade värdet, prognoserna från SMA-modellen är lika med ett vägt genomsnitt av de senaste värdena. De konfidensbegränsningar som beräknas av Statgraphics för de långsiktiga prognoserna för det enkla rörliga genomsnittet blir inte större, eftersom prognostiseringshorisonten ökar. Detta är uppenbarligen inte korrekt. Tyvärr finns ingen underliggande Statistisk teori som berättar hur förtroendeintervallen borde utvidgas för denna modell. Det är emellertid inte så svårt att beräkna empiriska uppskattningar av konfidensgränserna för prognoserna för längre horisont. Till exempel kan du skapa ett kalkylblad där SMA-modellen Skulle användas för att prognostisera två steg framåt, 3 steg framåt, etc inom det historiska dataprovet. Du kan sedan beräkna provstandardavvikelserna för fel vid varje prognos h Orizon och konstruera sedan konfidensintervaller för längre siktprognoser genom att lägga till och subtrahera multiplar av lämplig standardavvikelse. Om vi ​​försöker ett 9-sikt enkelt glidande medelvärde får vi ännu smidigare prognoser och mer av en långsammare effekt. Medelåldern är Nu 5 perioder 9 1 2 Om vi ​​tar ett 19-årigt glidande medelvärde, ökar medeltiden till 10. Notera att prognoserna nu försvinner nu bakom vändpunkter med cirka 10 perioder. Vilken mängd utjämning är bäst för denna serie Här är en tabell som jämför deras felstatistik, även med ett 3-årigt genomsnitt. Modell C, det 5-åriga glidande genomsnittet, ger det lägsta värdet av RMSE med en liten marginal över de tre och 9-siktiga genomsnitten, och Deras andra statistik är nästan identiska Så, bland modeller med mycket liknande felstatistik kan vi välja om vi föredrar lite mer lyhördhet eller lite mer jämnhet i prognoserna. Tillbaka till början av sidan. Brons s Exponentiell utjämning exponentiellt vägd Glidande medelvärdet. Den enkla glidande medelmodellen beskriven ovan har den oönskade egenskapen som den behandlar de senaste k-observationerna lika och fullständigt ignorerar alla föregående observationer Intuitivt bör tidigare data diskonteras mer gradvis - till exempel bör den senaste observationen Få lite mer vikt än 2: a senast och 2: a senast bör få lite mer vikt än den 3: e senaste, och så vidare. Den enkla exponentiella utjämning SES-modellen åstadkommer detta. Låt beteckna en utjämningskonstant ett tal mellan 0 och 1 Ett sätt att skriva modellen är att definiera en serie L som representerar den aktuella nivån, dvs det lokala medelvärdet av serien som uppskattat från data upp till idag. Värdet av L vid tid t beräknas rekursivt från sitt eget tidigare värde som detta. Således är det nuvarande utjämnade värdet en interpolation mellan det tidigare jämnda värdet och den aktuella observationen, där kontrollen av det interpolerade värdet är så nära som möjligt Cent observation Prognosen för nästa period är helt enkelt det nuvarande utjämnade värdet. Evivalent kan vi uttrycka nästa prognos direkt i form av tidigare prognoser och tidigare observationer, i någon av följande ekvivalenta versioner I den första versionen är prognosen en interpolering Mellan föregående prognos och tidigare observation. I den andra versionen erhålls nästa prognos genom att justera föregående prognos i riktning mot det föregående felet med en bråkdel. Erroren vid tidpunkten t I den tredje versionen är prognosen en Exponentiellt viktad dvs diskonterat glidande medelvärde med rabattfaktor 1.Interpoleringsversionen av prognosformuläret är det enklaste att använda om du implementerar modellen på ett kalkylblad som passar i en enda cell och innehåller cellreferenser som pekar på föregående prognos, föregående Observation och cellen där värdet av lagras. Notera att om 1, motsvarar SES-modellen en slumpmässig promenadmodell wit Träväxt Om 0 är SES-modellen ekvivalent med medelmodellen, förutsatt att det första släta värdet är lika med medelvärdet Return to top of the page. Den genomsnittliga åldern för data i prognosen för enkel exponentiell utjämning är 1 relativ Till den period för vilken prognosen beräknas. Detta är inte tänkt att vara uppenbart, men det kan enkelt visas genom att utvärdera en oändlig serie. Därför tenderar den enkla glidande genomsnittliga prognosen att ligga bakom vändpunkter med ca 1 period. Till exempel när 0 5 fördröjningen är 2 perioder när 0 2 fördröjningen är 5 perioder då 0 1 fördröjningen är 10 perioder och så vidare. För en given medelålder, dvs mängden fördröjning, är den enkla exponentiella utjämning SES-prognosen något överlägsen den enkla rörelsen Genomsnittlig SMA-prognos eftersom den lägger relativt större vikt vid den senaste observationen - det är något mer responsivt på förändringar som inträffade under det senaste. Till exempel har en SMA-modell med 9 villkor och en SES-modell med 0 2 båda en genomsnittlig ålder Av 5 för da Ta i sina prognoser, men SES-modellen lägger mer vikt på de senaste 3 värdena än SMA-modellen och samtidigt glömmer det inte helt värderingar som är mer än 9 perioder gamla, vilket visas i det här diagrammet. En annan viktig fördel med SES-modellen över SMA-modellen är att SES-modellen använder en utjämningsparameter som är kontinuerligt variabel så att den enkelt kan optimeras genom att använda en solveralgoritm för att minimera medelkvadratfelet. Det optimala värdet av SES-modellen för denna serie visar sig Att vara 0 2961, som visas här. Medelåldern för data i denna prognos är 1 0 2961 3 4 perioder, vilket liknar det för ett 6-sikt enkelt glidande medelvärde. De långsiktiga prognoserna från SES-modellen är En horisontell rak linje som i SMA-modellen och den slumpmässiga promenadmodellen utan tillväxt Men notera att de konfidensintervaller som beräknas av Statgraphics nu avviker på ett rimligt sätt och att de är väsentligt smalare än förtroendeintervallet för rand Om walk-modellen SES-modellen förutsätter att serien är något mer förutsägbar än den slumpmässiga promenadmodellen. En SES-modell är egentligen ett speciellt fall av en ARIMA-modell, så den statistiska teorin om ARIMA-modeller ger en bra grund för att beräkna konfidensintervaller för SES-modell SES-modellen är speciellt en ARIMA-modell med en icke-säsongsskillnad, en MA 1-term och ingen konstant term som annars kallas en ARIMA 0,1,1-modell utan konstant MA1-koefficienten i ARIMA-modellen motsvarar Kvantitet 1- i SES-modellen Om du till exempel passar en ARIMA 0,1,1-modell utan konstant till den analyserade serien, visar den uppskattade MA 1-koefficienten sig på 0 7029, vilket är nästan exakt en minus 0 2961. Det är möjligt att lägga till antagandet om en icke-noll konstant linjär trend till en SES-modell. Ange härmed bara en ARIMA-modell med en icke-säsongsskillnad och en MA 1-term med en konstant, dvs en ARIMA 0,1,1-modell Med konstant De långsiktiga prognoserna kommer att Då har en trend som är lika med den genomsnittliga trenden som observerats under hela estimeringsperioden. Du kan inte göra detta i samband med säsongsjustering, eftersom säsongsjusteringsalternativen är inaktiverade när modelltypen är inställd på ARIMA. Du kan dock lägga till en konstant lång Termisk exponentialutveckling till en enkel exponentiell utjämningsmodell med eller utan säsongjustering genom att använda inflationsjusteringsalternativet i prognostiseringsförfarandet. Den lämpliga inflationsprocenttillväxten per period kan uppskattas som lutningskoefficienten i en linjär trendmodell monterad på data i Samband med en naturlig logaritmtransformation, eller det kan baseras på annan oberoende information om långsiktiga tillväxtutsikter. Tillbaka till början av sidan. Brett s Linjär dvs dubbel exponentiell utjämning. SMA-modellerna och SES-modellerna antar att det inte finns någon trend av Vilken typ som helst i de data som vanligtvis är ok eller åtminstone inte för dålig för 1-stegs prognoser när data är relativt noi Sy och de kan modifieras för att införliva en konstant linjär trend som visas ovan. Vad sägs om kortsiktiga trender Om en serie visar en varierande tillväxthastighet eller ett cykliskt mönster som står klart mot bruset och om det finns behov av att Prognos mer än 1 år framåt, kan uppskattning av en lokal trend också vara ett problem. Den enkla exponentiella utjämningsmodellen kan generaliseras för att erhålla en linjär exponentiell utjämning av LES-modell som beräknar lokala uppskattningar av både nivå och trend. Den enklaste tidsvarierande trenden Modellen är Brown s linjär exponentiell utjämningsmodell, som använder två olika släta serier som centreras vid olika tidpunkter. Prognosformeln baseras på en extrapolering av en linje genom de två centren. En mer sofistikerad version av denna modell, Holt s, är Diskuteras nedan. Den algebraiska formen av Browns linjära exponentiella utjämningsmodell, som den enkla exponentiella utjämningsmodellen, kan uttryckas i ett antal olika men e Kvivalenta former Standardformen för denna modell uttrycks vanligtvis enligt följande. Låt S beteckna den singelformade serien som erhållits genom att applicera enkel exponentiell utjämning till serie Y Det är värdet av S vid period t ges av. Minns att under enkel exponentiell utjämning skulle detta vara prognosen för Y vid period t 1 Låt sedan S beteckna den dubbelsidiga serien som erhållits genom att applicera enkel exponentiell utjämning med samma till serie S. Slutligen är prognosen för Y tk för vilken som helst K 1, ges av. Detta ger e 1 0, dvs lurar lite och låt den första prognosen motsvara den faktiska första observationen och e 2 Y 2 Y 1, varefter prognoser genereras med hjälp av ekvationen ovan. Detta ger samma monterade värden Som formel baserad på S och S om den senare startades med användning av S 1 S 1 Y 1 Denna version av modellen används på nästa sida som illustrerar en kombination av exponentiell utjämning med säsongsjustering. Helt s linjär exponentiell utjämning. S LES-modellen beräknar lokala uppskattningar av nivå och trend genom att utjämna de senaste uppgifterna, men det faktum att det gör det med en enda utjämningsparameter ställer en begränsning på datamönstren att den kan passa nivån och trenden får inte variera vid Oberoende priser Holt s LES-modellen behandlar detta problem genom att inkludera två utjämningskonstanter, en för nivån och en för trenden. När som helst t, som i Brown s-modellen, finns det en uppskattning L t på lokal nivå och en uppskattning T T av den lokala trenden Här beräknas de rekursivt från värdet av Y observerat vid tid t och de tidigare uppskattningarna av nivån och trenden med två ekvationer som tillämpar exponentiell utjämning åt dem separat. Om den beräknade nivån och trenden vid tiden t-1 Är L t 1 och T t-1, då skulle prognosen för Y t som skulle ha gjorts vid tid t-1 vara lika med L t-1 T t 1 När det verkliga värdet observeras, är den uppdaterade uppskattningen av Nivån beräknas rekursivt genom att interpolera mellan Yt och dess prognos, L t-1 T t-1, med vikter av och 1. Förändringen i beräknad nivå, nämligen L t L t 1 kan tolkas som en bullrig mätning av Trenden vid tiden t Den uppdaterade uppskattningen av trenden beräknas därefter rekursivt genom interpolering mellan L T L t 1 och den tidigare uppskattningen av trenden, T t-1 med vikter av och 1.Tolkningen av trendutjämningskonstanten är analog med den för nivåutjämningskonstanten. Modeller med små värden antar att trenden förändras Bara mycket långsamt över tiden medan modeller med större antar att det förändras snabbare En modell med en stor tror att den avlägsna framtiden är väldigt osäker eftersom fel i trendberäkning blir ganska viktiga när prognoser mer än en period framåt. Av sidan. Utjämningskonstanterna och kan beräknas på vanligt sätt genom att minimera medelkvadratfelet i de 1-stegs-prognoserna. När detta görs i Statgraphics visar uppskattningarna att vara 0 3048 och 0 008 Det mycket lilla värdet av Innebär att modellen antar mycket liten förändring i trenden från en period till en annan, så i princip försöker denna modell uppskatta en långsiktig trend. I analogi med begreppet medelålder för de data som används vid uppskattning av t Han lokal nivå av serien, den genomsnittliga åldern för de data som används för att uppskatta den lokala trenden är proportionell mot 1, men inte exakt lika med det i det här fallet visar sig vara 1 0 006 125 Detta är inte mycket exakt nummer Eftersom beräkningsnoggrannheten inte är riktigt 3 decimaler, men den har samma generella storleksordning som provstorleken på 100, så denna modell är medelvärdesberäknad över ganska mycket historia vid bedömning av trenden. Prognosplotten Nedan visar att LES-modellen beräknar en något större lokal trend i slutet av serien än den ständiga trenden som uppskattas i SES-trendmodellen. Det uppskattade värdet är nästan identiskt med det som erhållits genom att montera SES-modellen med eller utan trend , Så det här är nästan samma modell. Nu ser dessa ut som rimliga prognoser för en modell som ska beräkna en lokal trend. Om du eyeball denna plot ser det ut som om den lokala trenden har vänt sig nedåt i slutet av Serie Wh Vid har hänt Parametrarna för denna modell har uppskattats genom att minimera kvadreringsfelet i 1-stegs prognoser, inte längre prognoser, i vilket fall trenden gör inte stor skillnad. Om allt du tittar på är 1 - steg framåtfel, ser du inte den större bilden av trender över säga 10 eller 20 perioder För att få denna modell mer i linje med vår ögonbolls extrapolering av data kan vi manuellt justera trendutjämningskonstanten så att den Använder en kortare baslinje för trenduppskattning. Om vi ​​exempelvis väljer att ställa in 0 1, är medelåldern för de data som används för att uppskatta den lokala trenden 10 perioder, vilket innebär att vi medeltar trenden under de senaste 20 perioderna eller så Här är vad prognosplottet ser ut om vi ställer in 0 1 samtidigt som vi håller 0 3 Det ser intuitivt rimligt ut för den här serien, men det är förmodligen farligt att extrapolera denna trend mer än 10 perioder i framtiden. Vad med felstatistik Här är En modell jämförelse f Eller de två modellerna som visas ovan samt tre SES-modeller. Det optimala värdet på SES-modellen är ungefär 0 3, men liknande resultat med något mer eller mindre responsivitet erhålls med 0 5 och 0 2. En Holt s linjär expo-utjämning Med alfa 0 3048 och beta 0 008. B Holt s linjär expjäkning med alfa 0 3 och beta 0 1. C Enkel exponentiell utjämning med alfa 0 5. D Enkel exponentiell utjämning med alfa 0 3. E Enkel exponentiell utjämning med alfa 0 2.Their stats are nearly identical, so we really can t make the choice on the basis of 1-step-ahead forecast errors within the data sample We have to fall back on other considerations If we strongly believe that it makes sense to base the current trend estimate on what has happened over the last 20 periods or so, we can make a case for the LES model with 0 3 and 0 1 If we want to be agnostic about whether there is a local trend, then one of the SES models might be easier to explain and would also give more middl e-of-the-road forecasts for the next 5 or 10 periods Return to top of page. Which type of trend-extrapolation is best horizontal or linear Empirical evidence suggests that, if the data have already been adjusted if necessary for inflation, then it may be imprudent to extrapolate short-term linear trends very far into the future Trends evident today may slacken in the future due to varied causes such as product obsolescence, increased competition, and cyclical downturns or upturns in an industry For this reason, simple exponential smoothing often performs better out-of-sample than might otherwise be expected, despite its naive horizontal trend extrapolation Damped trend modifications of the linear exponential smoothing model are also often used in practice to introduce a note of conservatism into its trend projections The damped-trend LES model can be implemented as a special case of an ARIMA model, in particular, an ARIMA 1,1,2 model. It is possible to calculate confidence intervals arou nd long-term forecasts produced by exponential smoothing models, by considering them as special cases of ARIMA models Beware not all software calculates confidence intervals for these models correctly The width of the confidence intervals depends on i the RMS error of the model, ii the type of smoothing simple or linear iii the value s of the smoothing constant s and iv the number of periods ahead you are forecasting In general, the intervals spread out faster as gets larger in the SES model and they spread out much faster when linear rather than simple smoothing is used This topic is discussed further in the ARIMA models section of the notes Return to top of page.